Numeros Vampiros

Perfectos, AmigablesSublimes y Vampiros
Por Lic. Marcel Reichenbach
Los números naturales (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, ...) han intrigado al hombre por siglos. El brillante matemático Paul Erdös estaba fascinado por la Teoría de Números y por las múltiples opciones que los números naturales podían presentar; problemas que eran fáciles de plantear, pero complejos de resolver. Hay armonía en el universo que puede ser expresada por números naturales (de allí posiblemente su nombre). Patrones numéricos que describen el arreglo de pétalos en una margarita, el crecimiento de una población de conejos, la órbita de un planeta, la armonía en la música, la relación de los elementos en una tabla periódica y muchos otros. Leopoldo Kronecker (1823-1891), un matemático alemán, dijo una vez “Los números naturales los creó Dios, todo lo demás es hecho por el hombre”
La Teoría de Números - el estudio de las propiedades de los números - es una disciplina muy antigua. Para los Pitagóricos, una secta de la antigua Grecia, los números eran algo tangible, inmutable, confortable, eterno - más confiable que un amigo y menos amenazador que Zeus.
Ya desde la antigüedad se le daban características humanas a los números. Así los antiguos chinos consideraban a los números pares (2, 4, 6,...) femeninos y a los impares (1, 3, 5,...) masculinos. Los números primos (aquellos que solo pueden dividirse por 1 y por él mismo) has sido por siglos los más intrigantes y excitantes de todos. Para lo chinos los números impares que podían escribirse como producto de otros dos números distintos de 1 y el mismo (es decir, no eran primos), se consideraban “afeminados”. Por ejemplo, el número 15 puede escribirse con 3 · 5 = 15. Por esto los impares que son primos eran considerados algo así como “números machos”.
Perfectos
La perfección también fue buscada en los números. Pero ¿qué es un número perfecto?. En la escuela primaria aprendimos cuales son los divisores de un número, así, sabemos que los divisores de 12 son 1, 2, 3, 4, 6 y 12. Llamamos divisores propios a los divisores distintos del mismo número. Así, por ejemplo, los divisores propios de 12 serían 1, 2, 3, 4 y 6.
Sería perfecto que la suma de los divisores propios de un número diera como resultado el mismo número! Pero como de lo perfecto hay poco, los números perfectos también lo son. El primer número perfecto que encontramos es 6, ya que sus divisores propios son 1, 2 y 3; y si los sumamos 1+2+3=6 obtenemos el mismo número. El siguiente número perfecto es 28. ¿Pueden probar por qué?
Los divisores de 28 son 1, 2, 4, 7 y 14. Y en efecto, 1+2+4+7+14=28. Voila! 28 es perfecto.
¿Puedes encontrar el próximo número perfecto? Nicodemus, discípulo de Pitágoras, conoció cuatro números perfectos y no contaba con computadora. Utiliza la tuya y busca el siguiente PERFECTO. El quinto número perfecto 33 550 366 fue encontrado en un manuscrito medieval y hasta el día de hoy se conocen únicamente como 30 números perfectos.
La gran mayoría de los números son imperfectos, unos por abundancia y otros por deficiencia. Por ejemplo, si tomamos el número 15, sus divisores propios son 1, 3 y 5, pero 1+3+5 = 9 < 15. 15 es imperfecto por deficiencia. 12 es imperfecto por abundancia. ¿Puedes probarlo?
La mayoría son imperfectos por abundancia o por deficiencia, la perfección es rara!
Amigables
Pero ¿qué podemos decir de los números 220 y 284? Los divisores propios de 220 son 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 y 110. Si sumamos estos números obtenemos 284. Hagamos ahora lo mismo con 284. Sus divisores propios son 1,2, 4, 71 y 142, y si los sumamos obtenemos 220. Estos números son grandes amigos, son amigables. Forman una pareja perfecta. Otra pareja de amigos: 17 296 y 18 416. Más de mil parejas han sido encontradas. Utiliza tu computadora para encontrar números amigables!
También se han estudiado números sociables. Estos son un conjunto de números donde la suma de los divisores propios de un números es el siguiente de la cadena hasta regresar al primero. En 1918 un hombre llamado Poulet encontró la siguiente cadena de números sociables:
12 496 —> 14 288 —> 15 472 —>14 536 —> 14 264 —> 12 496
Para 1969 únicamente la cadena de Poulet y una cadena de 28 números, que puede iniciarse con el número 14 316, eran conocidas (Utiliza tu computadora para construirla). Ese año Henri Cohen descubrió siete cadenas de cuatro números.
Un par de números amigables se puede considera una cadena de 2 números, un número perfecto es una cadena con un número. Hasta el momento no se ha encontrado cadenas de tres.
Sublimes
Y aún hay números más extraños. Si llamamos d(n) al número de divisores de n y s(n) a la suma de los divisores de n, decimos que n es sublime si d(n) y s(n) son números perfectos (observa que la definición dice divisores y no divisores propios). Hasta el momento se conocen únicamente 2 números sublimes: 12 y el número 6 086 555 670 238 378 989 670 371 734 243 169 622 657 830 773 351 885 970 528 324 860 512 791 691 264 según indica C. Pickover en su libro Wonders of Numbers (2001). 12 es sublime porque sus divisores 1, 2, 3, 4 , 6 y 12 son 6 números y 6 es perfecto; y si sumamos los divisores obtenemos 28, que también es un número perfecto.
Vampiros
“Los vampiros se parecen a los humanos, pero viven vidas secretas dentro de nosotros los mortales” escribió la novelista Anne Rice. También hay vampiros dentro del mundo de los números, números que parecen normales, pero presentan características extrañas. Ellos son producto de dos números progenitores, los cuales al multiplicarlos sobreviven dentro del número vampiro. Por ejemplo si multiplicamos 27 por 81 obtenemos el número vampiro 2187. Otro número vampiro es 1435, que es el producto de 35 y 41.
Hay tres reglas básicas para los vampiros legítimos:
1. Tienen una cantidad par de dígitos.
2. Cada progenitor contiene la mitad de los dígitos del vampiro.
3. Los vampiros no se obtienen simplememte con agregar 0’s al número, como por ejemplo:
270 000 • 810 000 = 218 700 000 000
Los números vampiros viven dentro de nuestro sistema numérico sin ser detectados. ¿Puedes tu encontrarlos?
Algo más sobre los Perfectos
Los primeros 8 números perfectos son:
· 6, 28, 496, 8128 - ya conocidos por los griegos,
· 33550336 - encontrado antes de 1461
· 85898690556 - descubierto por Cataldi en 1588
· 137438691328 - descubierto por Cataldi en 1588
· 2305843008139952128 - descubierto por Eules en 1772.
Ya Euclides había demostrado que los números perfectos podían calcularse con la fórmula 2n-1 ( 2n - 1) para algunos valores de n. Así tenemos para los valores de n:
n = 2: 22-1 (22 - 1) = 6n = 3: 23-1 (23 - 1) = 28n = 5: 25-1 (25 - 1) = 496n = 7: 27-1 (27 - 1) = 8128
Los números de la forma 2n - 1 se les conoce como números Mersenicos por su invento Marin Mersenne (1588-1648). Lo interesante de estos números es que en algunos casos se generan números primos. Asi, por ejemplo:
M2 = 22 - 1 = 3M3 = 23 - 1 = 7:M7 = 27 - 1 = 127:M10 = 210 - 1 = 1023 ?:
Pero observemos
· No todos los números Mersenicos son primos. Por ejemplo M10 = 1023 es divisible por 3
· ¿Cuándo utilizamos números primos para n entonces 2n - 1 es primo? Si probamos para n = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19,... si se obtiene primos, pero para n = 11 tenemos 211 - 1 = 2047 que no es primo ya que 2047 = 23 • 89!
Si la fórmula de Mersenne generase todos los números primos, la famosa Suposición de Riemann, uno de los grandes problemas no resueltos de la matemática, estaría resuelta (En otra oportunidad hablaremos de este fascinante tema).
Con esto podemos ahora escribir los números perfectos en la forma
2n-1 • Mn
Euler demostró que una condición suficiente para que 2n-1 • Mn sea perfecto es que Mn sea primo. Por lo tanto, cada vez que se encuentre que un número Mersenico primo encontramos un nuevo número perfecto.
En 1814 P. Barlow escribió en su libro “A New Mathematical and Philosophical Dictionery” que el octavo número perfecto sería probablemente el último número perfecto descubierto por el hombre. Sin computadora demostrar que un número Mersenico es primo es una ardua tarea. Euler demostró en 1772 que
M31 = 2 147 483 647
es primo y por lo tanto
230•M31 = 2 305 843 008 139 952 128
es perfecto.
El noveno número perfecto descubierto en 1883 por Pervusin es 260•M61 y el décimo descubierto por Powers en 1911 es 288•M89 (Observa que 61 y 89 son primos).
Con las computadoras el límite impuesto por Barlow a la humanidad ha quedado invalidado. He aqui la lista de los perfectos conocidos con la fórmula
2n-1 • (2n - 1)

n
Año
Por
1-4
2, 3, 4, 5
antes de la edad media
5
13
antes de 1461

6-7
17, 19
1588
Cataldi
8
31
1772
Euler
9
61
1883
Pervusin
10
89
1911
Powers
11
107
1914
Powers
12
127
1876
Lucas
13-17
521, 607, 1279, 2203, 2281
1952
Robinson
18
3217
1957
Riesel
19-20
4253, 4423
1961
Hurwitz y Selfridge
21-23
9689, 9941, 11213
1963
Gillies
24
19937
1971
Tuckerman
25
21701
1978
Noll y Nickel Slowinski
26
23209
1979
Noll
27
44497
1979
Slowinski y Nelson
28
86243
1982
Slowinski
29
110503
1988
Colquirr y Welsh
30
132049
1983
Slowinski
31
216091
1985
Slowinski
32
756839
1992
Slowinski y Gage
33
859433
1993
Slovinski
Muchos han buscado los perfectos y muchas veces han terminado en frustración. El 27 de marzo de 1936 los periódicos alrededor del mundo anunciaron que el Dr. S. I. Krieger había descubierto un número perfecto de 155 dígitos luego de 5 años de arduo trabajo. El anunciado número era 2256 • (2257 - 1). Desafortunadamente para el Dr. Krieger unos años antes se había demostrado de 2257 - 1 no era primo. Editores de Mathematical Journals escribieron al New York Herald Tribune, quienes habían sido los responsables de difundir la historia periodística, reclamando que habían sacrificado lo exacto por lo sensacional en la historia del Dr. Krieger.
Los números perfectos conocidos hasta ahora son todos pares. Los números perfectos impares son aún más fascinantes por que ni siquiera sabemos si existen. Podrían permanecer por siempre un misterio. Sin embargo los matemáticos han determinado una larga lista de cualidades que deben cumplir, por ejemplo:
· debe tener resto 1 a dividirse por 12 y resto 9 al dividirse por 36
· debe tener por lo menos 6 diferentes divisores primos
· si no es divisible por 3, debe tener por lo menos 9 diferentes divisores primos
· si es menos de 109118 debe ser divisible por la sexta potencia de algún primo
El matemático David Wells dice: “Investigadores, sin haber descubierto un número perfecto impar, saben mucho sobre ellos, si tiene sentido decir que sabemos mucho de algo que no sabemos que existe”
Pero los perfectos siguen asombrándonos. Por ejemplo:
28 = 13 + 33496 = 13 + 33 + 53 + 738 128 = 13 + 33 + 53 + 73 + 93 + 113 + 133 + 153
Beautiful!
BibliografíaC. Pickover. Wonders of Number. Oxford University Press. 2001.M. Sauntoy. Die Musik der Primzahlen. Verlag C.H. Beck. 2004.